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Spirale Logaritmica

Opera in metallo che rappresenta la spirale figura che se ingrandita o ridotta non cambia forma.

 

La spirale è una peculiare figura geometrica rappresentata da una semiretta curva generata dalla traiettoria di un punto (P) che ruota intorno ad un’origine fissa O (detta polo), aumentando continuamente la distanza da questa: OP sarà allora il raggio vettore (r) della spirale.

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La spirale logaritmica, in particolare, è una tipologia di spirale in cui la distanza tra gli avvolgimenti successivi non resta invariata: ogni raggio vettore è più ampio del precedente secondo un rapporto costante e fa sì che la curva crescendo non cambi forma, ragion per cui il matematico svizzero Jacob Bernoulli (1654 – 1705) la definì “spira mirabilis” (spirale meravigliosa). 

L’aggettivo fa riferimento al fatto che se ingrandiamo o riduciamo la spirale, la sua forma non cambia, ma coincide con quella di partenza (autosomiglianza). Bernoulli fu talmente affascinato da tale caratteristica, da volere una spirale logaritmica scolpita sulla propria lapide, con incisa la frase "eadem mutata resurgo" (anche se modificata, risorgo identica).

L’installazione che la rappresenta all’interno di Parco Pignera, è costituita da una struttura tubolare in acciaio con una raggio iniziale di 1,5 metri ed uno sviluppo complessivo di 50 metri.

spirale1

Come possiamo vedere, la spirale logaritmica ha origine da un punto (O), il polo della spirale. Il segmento OP che ha come estremi il polo ed un qualsiasi punto P è il raggio vettore (r) della spirale. L’angolo θ indica l’inclinazione di OP rispetto al semiasse positivo delle x. In coordinate polari, l’equazione del raggio della spirale logaritmica è allora:

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dove:

  • a è un coefficiente che modifica le dimensioni della spirale: quanto più è grande, tanto più la spirale si ingrandisce.
  • e è il numero di Nepero, un numero irrazionale con valore 2,71828… E’ la base dei logaritmi naturali, da cui l’aggettivo “logaritmica” attribuito a questo tipo di spirale.
  • b è un coefficiente che controlla l’ampiezza degli avvolgimenti e la direzione in cui la spirale si svolge. 
  • infine θ è l’angolo che indica l’inclinazione di OP rispetto al semiasse positivo delle x.

A motivo della sua autosomiglianza (la struttura, pur se ingrandita o ridotta, conserva sempre lo stesso aspetto), la spirale logaritmica si rinviene in molti fenomeni naturali: 

  • le conchiglie di diverse specie di molluschi (come il nautilus) si accrescono secondo una spirale logaritmica;
  • un falco che plana verso la preda si muove seguendo una spirale logaritmica: infatti, avendo gli occhi sui lati della testa, il falco tiene sempre d’occhio la preda, per evitare che non gli sfugga, e nel frattempo le si avvicina seguendo una traiettoria a forma di spirale logaritmica; 
  • i cicloni tropicali e le galassie a spirale hanno una forma simile a quella di una spirale logaritmica.

Una particolare spirale logaritmica è la spirale aurea, che ha il rapporto aureo (φ) come fattore di accrescimento per cui, allontanandosi dall’origine (O), la spirale si accresce in base a φ, per ogni angolo retto di rotazione. In coordinate polari, l’equazione del raggio della spirale aurea è:

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dove l’angolo θ è retto (90° in entrambe le direzioni). Avremo quindi che:

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per cui l’equazione del raggio della spirale aurea sarà:

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da cui l’aggettivo “aurea” attribuito a questo tipo di spirale logaritmica.

E’ possibile ricavare la spirale aurea a partire dal rettangolo aureo: è sufficiente inscrivere, all’interno dei quadrati sottratti al rettangolo aureo, dei quarti di circonferenza che connettono gli angoli opposti dei quadrati. Il raggio della circonferenza sarà pari al lato del quadrato. L’immagine che segue mostra a sinistra una spirale logaritmica, ed a destra una aurea:

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Spirale7

Una spirale molto simile alla spirale aurea è la spirale di Fibonacci. Per ricavarla:

  • costruiamo una serie di quadrati di Fibonacci (tali che il lato di ognuno sia dato dalla somma delle misure del lato dei due quadrati precedenti); 
  • disponiamoli nello stesso modo in cui si costruisce il rettangolo aureo; 
  • inscriviamo in ogni quadrato un quarto di circonferenza avente per raggio il lato del quadrato medesimo.

La spirale di Fibonacci sarà così ottenuta: le lunghezze dei suoi raggi via via crescenti saranno proprio i termini della serie omonima. Accrescendosi, essa approssimerà sempre meglio quella aurea; infatti, al crescere dei termini della serie di Fibonacci, il rapporto fra due termini consecutivi tenderà sempre più a φ:

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