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MUSEO E GIARDINI

DI PITAGORA

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Pentapiazza

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Piazzetta delimitata da muratura contenete il pentagono stellato connesso con la sezione aurea.

 

La pentapiazza raffigura per l'appunto una piazzetta delimitata da una muratura rossa a forma di pentagono regolare, (cioè un poligono regolare che ha tutti e cinque i lati e tutti e cinque gli angoli congruenti tra loro).

Se tra i cinque vertici del pentagono tracciamo le diagonali (i segmenti che congiungono due vertici non consecutivi) possiamo inscrivere nel pentagono una figura a forma di stella a cinque punte, formata da cinque triangoli isosceli e da un altro pentagono regolare (più piccolo e rovesciato), al cui interno si può disegnare (tracciando una seconda volta le diagonali tra i cinque vertici) un’altra stella a cinque punte, formata da cinque triangoli isosceli (rovesciati e più piccoli) e da un terzo pentagono regolare più piccolo... Il procedimento può continuare all’infinito: se tracciamo le diagonali, ogni pentagono regolare contiene una stella a cinque punte, la quale contiene un altro pentagono regolare che, tracciate le diagonali, conterrà un’altra stella a cinque punte, e così via.

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Il pentagono stellato (detto anche pentagramma) era una figura carica di significati mistici collegati al simbolismo del cinque, il quale: 

  • rappresentava l’unione e la riconciliazione tra maschile e femminile, in quanto somma del primo numero maschile (tre) e del primo numero femminile (due); del resto, ancora oggi le bomboniere nuziali contengono 5 confetti;
  • era considerato incorruttibile (le sue potenze terminano sempre col cinque) e semidivino (è l'esatta metà del numero  perfetto, il dieci);
  • era il simbolo del mondo fisico (i cinque solidi platonici, i cinque elementi - tetraedro = fuoco ottaedro = aria, icosaedro = acqua, cubo = terra, dodecaedro = etere vale a dire il fantomatico "quinto elemento" ricercato accanitamente per secoli dagli alchimisti medievali);
  • era il simbolo dell’uomo: oltre al fatto che l’uomo possiede cinque sensi ed ha cinque dita in ogni arto, la figura umana poteva essere inscritta nel pentagramma, con la testa in alto che comanda sopra le quattro membra in basso.
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Il pentagramma era il simbolo della confraternita pitagorica: le cinque punte rappresentavano i cinque anni di silenzio e studio che precedevano l’iniziazione, trascorsi i quali, i novizi non erano più “akousmatikoi” (“ascoltatori”), ai quali erano imposti il silenzio e una rigida disciplina di apprendimento, bensì “mathematikoi” (“adatti ad apprendere”), con facoltà di fare domande ed esprimere opinioni personali, ed a cui erano rivelate le dottrine più profonde della scuola.

Il pentagono stellato è connesso con la sezione aurea. Ricordiamo che un segmento, diviso in una parte maggiore (a) ed una minore (b), soddisfa la proporzione aurea quando il rapporto tra la somma di queste (a + b) e la grandezza maggiore (a) è uguale al rapporto tra la grandezza maggiore (a) e quella minore (b):

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Nel caso del pentagono stellato, se una qualsiasi diagonale (per esempio AC) viene suddivisa in due parti (una maggiore AG e l’altra minore GC) dall’altra diagonale (BD) che la interseca, allora l'intera diagonale sta alla propria parte maggiore come quest’ultima sta alla parte minore:

(AG + GC) / AG = AG / GC

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L'intersezione tra due diagonali (che sono anche i lati della stella inscritta nel pentagono) ha diviso ciascuna in due segmenti in proporzione aurea tra loro. Ovviamente, trattandosi di un pentagono regolare, tale proporzione sussiste per tutte e cinque le diagonali. 

Possiamo dimostrare aritmeticamente tale proprietà: per semplicità, assumiamo che le diagonali del pentagono regolare siano tutte di lunghezza unitaria. E’ allora possibile ottenere che la diagonale AC venga suddivisa dall’altra diagonale BD, che la interseca, in una parte maggiore AG di lunghezza circa 0,61804 e l’altra minore GC di lunghezza circa 0,38197. Applicando la formula che già conosciamo:

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(AG + GC) / AG = AG / GC

(0,61804 + 0,38197) / 0,61804 = 0,61804 / 0,38197 = ≈ 1,618

che è appunto il valore di φ. Iterando il procedimento, la parte maggiore AG (lunga circa 0,61804) viene divisa dalla diagonale BE in una parte maggiore AF di lunghezza circa 0,38197 e in una parte minore FG di lunghezza circa 0,23607. Applicando la formula:

(AF + FG) / AF = AF / FG

(0,38197 + 0,23607) / 0,38197 = 0,38197 / 0,23607= ≈ 1,618

cioè otteniamo ancora una volta il valore di φ, e cosi via all’infinito: gli ulteriori incontri delle diagonali dei pentagoni più piccoli, genereranno sempre suddivisioni di segmenti con parti in proporzione aurea tra loro.

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